1、为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。

2、这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 1是自然数； 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。

3、n+1也是自然数； 如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n； 1不是任何自然数的后继者； 如果某个集合S具有性质： 1在S中； 若n在S中，则n+1也在S中。

【资料图】

4、 那么S=N。

5、（公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理）若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0，并且删除第4条。

6、第五条是归纳公理，它确保了在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。

7、因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射）。

8、而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。

9、戴德金-皮亚诺结构一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X,x,f）： X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。

10、 x不在f的值域内。

11、（对应上面定义一节的公理4） f为一单射。

12、（对应上面的公理3） 若A为X的子集并满足： x属于A； 若a属于A，则f（a）亦属于A 则A=X。

13、 集合论形式的构造一个标准的构造方法如下：定义，代表空集。

14、然后对于任何集合a，设。

15、S(a)称为a的后继，S相当于后继函数。

16、根据无穷性公理，自然数集存在。

17、考虑所有包含0且在S之下封闭的集合，然后取它们的交集就得到了自然数集。

18、可以验证这些集合是符合皮亚诺公理的。

19、如此，每个自然数都等同于由所有更小的自然数所组成的集合，即在此定义下，在集合n内就有n个元素；而若n小于m，则n会是m的子集。

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